Campo visivo e Risoluzione nelle riprese astronomiche

Astronomia Fotografia

In questa pagina scoprirai come calcolare il campo visivo ripreso dalla tua macchina fotografica per sapere che porzione di Cielo può riprendere una certa combinazione camera + obiettivo.
Con lo stesso metodo vedremo che risoluzione avrà la nostra immagine finale, ossia quanto sarà piccolo il dettaglio più fine apprezzabile nelle riprese.

Come si formano le immagini attraverso una lente

Un modo semplice per immaginare che cammino fa la luce quando attraversa la lente del nostro obiettivo, e ottenere informazioni sull'immagine prodotta dallo strumento è dato da queste semplici regole:

  1. Un raggio di luce che attraversa il centro della lente prosegue il suo cammino senza essere deviato.
  2. La lente fa convergere in un unico punto tutti i raggi luminosi provenienti da una certa direzione α rispetto all'asse della lente.
  3. Tutti i raggi di luce provenienti da sorgenti molto lontane (dall'infinito) convergono su un piano detto piano focale a una distanza F dal centro dell'obiettivo, detta lunghezza focale o focale dell'obiettivo.

Regole simili valgono per gli obiettivi a specchi, e portano alle stesse formule che seguono.

Come saprai, ogni obiettivo è caratterizzato da una certa lunghezza focale F e da un certo diametro D, come in figura.

Nella figura sopra si vede inoltre che la luce proveniente dalla stella A converge nel punto A', mentre la luce che proviene dalla stella B converge in B', entrambi situati sul piano focale (visto di taglio), che è posto a una distanza F dall'obiettivo.
Si vede subito che la distanza angolare tra le due stelle α si traduce sul piano focale in una distanza lineare R.

Quanto è lunga R? Dunque, abbiamo un triangolo rettangolo con vertici il centro della lente e le immagini delle due stelle, di cui conosciamo un lato, F, e l'angolo nel centro della lente, α. La trigonometria ci dice che la lunghezza di R sarà allora:

R = F tan(α)

Per esempio, se abbiamo due stelle distanti 1° (α=1) e un obiettivo di focale di F=1 m, la distanza in millimetri tra le due immagini sul piano focale sarà data dalla focale per la tangente dell'angolo α:

R = F tan(α) = 1000 * tan( 1 * π/180)= 17,46 mm

Per calcolare la tangente abbiamo convertito l'angolo da gradi sessagesimali in radianti, moltiplicando il valore per il fattore di conversione π/180 (ricorda: π ~ 3,14159...).
Se fotografassimo queste due stelle con questo obiettivo usando la tradizionale pellicola fotografica, il cui fotogramma misura 24 x 36 mm, occuperebbero circa la metà del fotogramma.

Calcolare la tangente non è facile se non abbiamo sotto mano una calcolatrice, ma in alcuni frequenti casi possiamo semplificare questa formula, facendo un errore piccolo. Se l'angolo α è piccolo, come capita per le riprese al telescopio, per capirci, α < 5°, e lo espimiamo in radianti, osserviamo che:

tan(α) ~ α

Dunque la nostra formula diventa:

R = F (α π/180)

Ho messo le parentesi per ricordarci che tutto il fattore a destra è un angolo, e che se è dato in gradi va convertito da gradi in radianti moltiplicandolo per π/180. Naturalmente, se la nostra calcolatrice lavora in gradi, potremo omettere questo fattore di conversione.
In questo caso (α < 5), l'errore massimo che facciamo facendo questa approssimazione ammonta a |1 - tan(α) / α| < 3 ‰, trascurabile per la gran parte delle applicazioni.

Ora usiamo la formula per uno scopo diverso: calcolare il campo visivo di una fotocamera digitale (una Nikon Coolpix 8800... la mia fotocamera) con un sensore grande 8,80 x 6,60 mm e un obiettivo zoom 8,9-89 mm di focale (attenzione: la focale vera dell'ottica, non la focale "equivalente" pubblicizzata dal produttore, la si trova nel manuale, oppure su siti come dpreview.com).
Per far questo dobbiamo invertire la formula originaria (visto che stiamo facendo il calcolo per un obiettivo fotografico e non per un telescopio, dobbiamo usare la formula originale):

α = atan(R/F) 180/π

Dove atan è la funzione arcotangente, inversa della tangente, e 180/π il solito fattore per passare da radianti in gradi.
Poi dobbiamo sostituire a R la lunghezza del lato del sensore, e ad F la focale dell'obiettivo, indicandoli nella stessa unità di misura. Per il nostro esempio, otterremo:

α = atan(8,80/8,9) 180/π = 0,77975 * 57,296 = 44,7
α = atan(6,60/8,9) 180/π = 0,63808 * 57,296 = 36,6

Lo zoom al massimo ci darà un campo visivo circa 1/10 di quello ora calcolato, cioè di 5,6x4,2 (non esattamente 1/10 perchè c'è di mezzo l'arcotangente e gli angoli non sono piccoli!).
Guarda caso, il campo apparente che otteniamo con questa coppia obiettivo-sensore è molto vicino a quello che avremmo con un obiettivo zoom 35-350 mm su una tradizionale macchina con pellicola 24x36 mm:

α = atan(36/35) 180/π = 45,8
α = atan(24/35) 180/π = 34.4

Questa infatti è la cosidetta focale equivalente, che viene usata spesso per dare un'idea al pubblico del campo visivo dato da una certa digicam, risparmiando all'utente i calcoli che abbiamo visto.

Possiamo usare questa formula anche per stimare la risoluzione massima delle nostre fotografie, ossia quanto sarà piccolo (angolarmente) un dettaglio che riempie almeno un pixel della foto. In questo caso la nostra "finestra" è il pixel le cui dimensioni sono date circa da:

lato pixel = lato sensore / numero di pixel di lato

Nell'esempio precedente, il sensore ci fornisce immagini da 3264x2448 pixel, e dunque avremo pixel da 8.80/3264 = 0.0027 mm = 2.7 µm (micrometri). Applicando la nostra formula approssimata (l'angolo sarà sicuramente piccolo) usando R = 2.7 µm = 0.0027 mm (R e F devono essere espressi nelle stesse unità) abbiamo:

α = R/F 180/π = 0,0174 = 1,04'

Questa macchina, con lo zoom al minimo, ci fornisce quindi immagini che al massimo hanno una risoluzione da 1,0 primi d'arco per pixel. Naturalmente, se spingiamo lo zoom al massimo otteniamo una risoluzione 10 volte superiore, con i dettagli da 1/10 di primo d'arco per pixel, vale a dire da 6,25"/pix (secondi d'arco per pixel).

Chi conosce un po' i telescopi sa bene che la risoluzione che un obiettivo fornisce in condizioni ideali dipende fondamentalmente dal diametro dell'obiettivo (sempre che non sia diaframmato). Potremmo chiederci allora se il diametro dell'obiettivo della nostra digicam sia sufficiente per fornirci la risoluzione appena calcolata.
Poichè possiamo stimare il potere risolutivo in secondi d'arco di un obiettivo con la formula (D è il diametro dell'obiettivo in mm):

Pr = 140/D

che ci fornisce il raggio del dettaglio più fine restituito dall'obiettivo, vediamo che nel nostro esempio con la Nikon Coolpix 8800 (D ~ 46 mm, misurabile con un calibro o una riga) troviamo Pr = 3", e dunque il più piccolo dettaglio apprezzabile avrà diametro 6", minore della risoluzione sul sensore, che era di 6,25"/pix.
Possiamo concludere allora che il sensore ci consente di approfittare di tutta la risoluzione data dal nostro obiettivo.

Ricorda che gli stessi ragionamenti fatti in questa pagina possono essere estesi al caso di un sensore qualsiasi (ccd, digicam reflex, webcam, pellicola, lastra fotografica...) applicato a un telescopio o a un qualsiasi altro obiettivo, per trovare la focale giusta per sfruttare al meglio la nostra strumentazione.

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commenti

ritratto di Gabriele Cataldi

CALCOLO DEL DIAMETRO ANGOLARE

Salve,
saprebbe indicarmi la formula trigonometrica per calcolare il diametri angolare espresso in ° partendo dal diametro e distanza di un oggetto espresso in metri?

Grazie per la cortese attenzione,
Gabriele Cataldi.

ritratto di gerlos

CALCOLO DEL DIAMETRO ANGOLARE

Se conosci un po' la trigonometria, o se hai seguito con attenzione l'articolo, la risposta è semplice: il diametro angolare "d" è l'arcotangente di D/( 2R ), dove D è il diametro reale, mentre R è la distanza.
È la stessa formula che usiamo per il campo visivo (ovviamente!).

Se usi una calcolatrice per fare il calcolo, dovresti impostarla in modo che ti restituisca gli angoli in gradi piuttosto che radianti. Di solito si deve cambiare un'impostazione da "RAD"a "DEG". inoltre la funzione arcotangente viene a volte indicata con il simbolo tan-1.

Se l'angolo che ti aspetti di ottenere è piccolo, diciamo minore di 7-5°, puoi usare una versione approssimata della formula (usandola sbagli meno dell1%), semplicemente calcolando D/( 2R ). Questo ti dà la dimensione angolare in radianti; se la vuoi ottenere in gradi, moltiplica il risultato per 180/pi, dove "pi" è pi greco ~ 3,14159....

In sintesi, per angoli piccoli il diametro angolare "d" è: d = D/( 2R ) * 180/pi

ritratto di fabrizio

chiarimento

ma nell'esempio il punto di convergenza del fascio luminoso delle stelle A e B non dovrebbe essere invertito visto che esso prosegue senza essere deviato ?

ritratto di gerlos

Re: chiarimento

Ops! Hai ragione, ho fatto un errore nell'illustrazione! L'ho appena corretta
Grazie per la segnalazione :-)

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